摘 要：针对“电磁场与电磁波”课程中存在对数学思维、空间思维要求较高等问题，将MATLAB软件引入到实验设计环节，能够将课程理论知识点具象化，并与实际电磁现象进行联动；针对课程中矢量分析、电磁场的基本规律、电磁波的传播等知识点进行MATLAB软件数学建模，实现系统化虚拟仿真实验设计；通过对实验结果的动态展示能够有效降低学生对麦克斯韦方程组等知识点的理解难度，在有效提升学生学习兴趣的同时锻炼了其动手编程能力，最终提高了实验教学的质量，对课程建设和实践具有重要意义。
关键词：电磁场与电磁波；虚拟仿真；MATLAB；实验设计
中图分类号：TP391.9；G642 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2024）14-0194-05
Design of Virtual Simulation Experiment of“Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave”Based on MATLAB
WU Jinlong
（College of Information Science and Engineering， Shanxi Agricultural University， Jinzhong 030801， China）
Abstract： In response to the high requirements for mathematical and spatial thinking in the course of “Electromagnetic Field and Electromagnetic Wave”， MATLAB software is introduced into the experimental design stage， which can concretize the theoretical knowledge points of the course and link them with actual electromagnetic phenomena. It conducts mathematical modeling using MATLAB software for knowledge points such as vector analysis， basic laws of electromagnetic fields， and propagation of electromagnetic waves in the course， and achieves systematic virtual simulation experiment design. The dynamic display of experimental results can effectively reduce the difficulty of students in understanding knowledge points such as Maxwells system of equations， while effectively enhancing their learning interest and exercising their hands-on programming ability， ultimately improving the quality of experimental teaching， which is of great significance for course construction and practice.
Keywords： electromagnetic field and electromagnetic wave; virtual simulation; MATLAB; experimental design
DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.14.039
0 引 言
“电磁场与电磁波”课程是电子信息类专业中非常重要的一门专业必修课程[1]，该课程详细介绍了电磁场与电磁波基本规律以及传播和辐射特性等基本理论。该课程的前导课程为“高等数学”“普通物理学”等[2]，需要学生对基本数学矢量运算和基本电磁分布规律有一定的基础，同时本课程的后续课程为“微波原理”“光纤通信”等，要保证学生在学习完该课程后有较强的电磁建模分析能力。在教师讲授和学生学习过程中，发现了两大问题，一是对数学思维要求较高，学生需要具备较强的矢量和微积分计算能力，需要在课堂上不断对基础知识进行回顾，帮助学生理解，二是对空间思维能力要求较高，本门课程的主要思路是利用麦克斯韦方程组等理论分析三维空间中实际电磁场与电磁波的分布规律[3]，要求建立数学知识与空间分布的联系，将数学公式赋予实际电磁意义。为了能够在实际教学工作中解决以上问题，需要在课堂中不断对偏微分方程组进行数学空间建模，通过绘图、动画等方式辅助讲授，加深学生对知识理解的同时提高学生学习兴趣。而MATLAB软件[4-5]是目前较为常用的工程计算软件，被广泛应用到自动控制、图像处理等多个领域。将MATLAB软件引入到“电磁场与电磁波”的实验教学过程中，能够有效建立课程基础理论与实际电磁现象之间的联动。目前常见的教材以及资料中，虽然已经取得了一定的教学实践成果，但并未形成完整的教学体系，本文的研究目的是对“电磁场与电磁波”课程中的知识点进行梳理，保障知识点之间的连贯性，同时利用MATLAB软件将常用知识点进行虚拟仿真，提高电磁现象的数学描述与实际空间分布情况之间的匹配度，形成一套完整的虚拟仿真实验教学指导。
1 MATLAB软件电磁仿真实验设计
“电磁场与电磁波”的主要内容包括矢量分析基础、电磁场的基本规律、电磁波的传播等[6-7]，在课堂讲授过程中以麦克斯韦方程组为基础，通过公式推导和动画演示相结合的方法进行讲授，虽然能够帮助学生理解相关知识点，但却无法解决学生将公式与电磁现象联系起来的难题。因此，本文采用MATLAB软件将麦克斯韦方程组应用电磁现象的公式推导过程进行虚拟仿真，将复杂的公式推导进行形象立体展示，使学生更加容易理解的同时增加学习兴趣，锻炼了实践动手能力。本文根据电子类本科生培养方案和“电磁场与电磁波”课程大纲要求，设计了如下几个具体实验。
1.1 矢量分析
矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的一个非常重要的分析工具[8]，标量场u（x，y，z）（电位、标量磁位）的空间分布通常采用梯度进行描述，而矢量场 （x，y，z）（电场、磁场）在空间中的变化则采用散度和旋度来表示，且根据亥姆霍兹定理可得，矢量场可由其散度、旋度和边界条件来确定。因此，在矢量分析中，本文设计了梯度、散度和旋度三个实验。
标量场的分布情况可以采用等值面进行表示，图1为电偶极子的电位分布情况，电位场为标量场，图中的实线表示的是等电位面，通常认为等电位越稀疏，电位变化越慢，电场强度越小。标量场的梯度描述的是标量场在某点的最大变化率以及变化最大的方向，通常分为梯度的方向垂直于过该点的等值面，且指向标量增加的方向，其计算方法如式（1）所示：
（1）
矢量场的分布通常采用通量表示，当穿过闭合曲面的通量大于0，则说明该空间中存在能够发出矢量线的源。但是矢量场的通量是一个积分量，不能反映场域内每一点的通量特性，因此要引入矢量场的散度。散度是通量在某一点的极限值，当散度大于0则认为该点存在能够发出矢量线的源，其计算方法如式（2）所示：
（2）
矢量场的散度可以描述电场的分布情况，却无法描述磁场的分布情况。通电直导线周围磁力线是闭合曲线，采用通量描述其分布情况时，结果始终为0。因此引入矢量场的旋度，描述通电直导线周围的磁场分布情况，将产生这类磁场的源称为漩涡源。旋度的计算方法如式（3）所示：
（3）
针对矢量分析的相关知识，采用MATLAB软件实现对计算公式的展示。对于标量场的梯度，标量场选用电偶极子的电位分布φ（x，y，z），其中电偶极子正电荷位于（1，0，0），负电荷位于（-1，0，0），其电位函数的求解方法如式（4）所示。为了描述其电位的分布情况，利用MATLAB软件求解其梯度，具体仿真结果如图1所示。
（4）
图1能够清晰反映出电偶极子的电位分布情况，其中箭头表示电位梯度（电场强度）的具体情况。矢量场的散度和旋度能够描述矢量的分布情况，因此在实验中定义一个矢量场 （x，y，z），具体为 （cos（x + 2y） +（sin（x - 2）*y）），利用MATLAB软件分别求解其散度和旋度，其具体分布情况如图2所示，可以发现在该矢量场中在散度最小的位置其旋度最大，而旋度最小的位置散度最大，满足矢量场的分布情况。
（a）散度
（b）旋度
1.2 均匀平面波在无界媒质中传播
为了探索电磁波的传播特性，本文采用均匀平面波进行无界媒质中的传播仿真研究，均匀平面波[9]指的是在等相位面上电场和磁场方向、振幅都保持一致的平面波，是一种理想状态，能够表征电磁波的重要特性。通过对麦克斯韦方程组和亥姆霍兹方程等的推导分析，为了简化推导过程，在分析过程中认为均匀平面波是在理想介质中传播的，无能量损耗。假设均匀平面波沿z轴传播，其中电场分量的波动方向沿x轴方向。最终得到均匀平面波的电场分量的瞬时表达式为式（5）所示：
（5）
利用麦克斯韦方程 ，求解可得磁场分量的瞬时表达式为式（6）所示：
（6）
由上式得，电场分量和磁场分量的相位均为∅x，且电场分量和磁场分量相互垂直，其波动方向分别沿x轴和y轴。对式（5）（6）进行MATLAB虚拟仿真，具体结果如图3（a）所示，可以发现电场分量和磁场分量相互垂直，且两个分量之间是同相位的，与理论方程相呼应，同时与实际电磁现象相似。但是，理想介质是一种假设状态，需将上述实验进行改进，使其满足在实际物理环境中的电磁波传播特性。将理想介质替换为现实世界中常见的导电媒质，由于导电媒质中传导电流存在 ，意味着在传播过程中会有能量损耗，对方程组进行修正，即可得到其具体表达式，结果为：，在振幅前增加了衰减因子e-az，具体意义为电磁波在沿着z轴传播的过程中，其振幅会随着z的增加呈指数衰减。仿真实验结果如图3（b）所示，电磁波随着传播方向不断传播，其振幅不断减少，能量发生损耗，满足实验设计需求。均匀平面波的传播特性如图3所示。
（a）理想介质
（b）导电媒质
为了详细分析电磁波的具体波动规律，且电场分量和磁场分量在表达式有很多类似之处，因此在分析波动过程中可以单独分析其电场分量的规律，再推广至磁场分量中。由于电磁波的电场分量在x轴和y轴的投影分量振幅、相位不一定相同，因此，在分析波动规律时其合成波会呈现不同的现象。在空间任意给定点上，合成波电场强度矢量的大小和方向都可能会随时间而变化，这种现象称为电磁波的极化。电磁波极化如图4所示，电磁波的极化是电磁理论中的重要概念，能够表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性，并用电场矢量的端点随时间变化的轨迹来描述。按照轨迹可分为：1）直线极化，轨迹为直线；2）圆极化，轨迹为圆，分为左旋和右旋；
3）椭圆极化，轨迹为椭圆。当电场x分量与y分量的相位差为0或者正负π时，合成波为直线极化波，具体仿真结果如图4（a）所示；当电场x分量与y分量的振幅相等，且相位差为正负π/2时，合成波为圆极化波，具体仿真结果如图4（b）所示；而当电场x分量和y分量不相等，且相位差均不满足上述两种情况时，其合成波则为椭圆极化波。
（a）直线极化波
（b）圆极化波
1.3 均匀平面的反射与透射
电磁波在传播过程中会经过不同的媒质，在遇到媒质分界面时，部分电磁能量对分界面反射，形成反射波；而另一部分电磁能量将透过分界面继续传播，形成透射波，入射形式分为垂直入射和斜入射[10]。通过对麦克斯韦方程组以及边界问题的分析，可知在分界平面上的反射系数与透射系数与分界平面的两种媒质相关，具体的反射系数为 和透射系数为 ，然后根据媒质的不同情况进行分析。
当电磁波对理想导体平面进行垂直入射时，媒质1为理想介质，其电导率为0，媒质2为理想导体，电导率为无穷大，理想导体的η2c为0，求解可得反射率为1，透射率为0。因此当电磁波对理想导体平面垂直入射时，理想导体中无电磁波存在，将发生全反射现象，如图5所示。
将媒质1和媒质2的入射波和反射波进行合成，其合成波电场分量为 ×
。合成波振幅为2Eimsin（β1z），可以发现在传播方向上即z轴上没有发生移动，只是在原来位置震动，称为驻波。当电磁波对理想介质垂直入射时，将其代入反射系数和透射系数公式，发现同时存在入射波、反射波和透射波。对这两种情况进行仿真，假设媒质分界面为z = 0平面，当z＞0时为媒质1，当z＜0为媒质2，其传播方向为z轴方向。当媒质2为理想导体时，发生驻波现象，其具体仿真结果如图5（a）所示，可以发现当z＜0时，无电磁波存在，与发生全反射现象相对应；当媒质2为理想介质时，入射波、反射波、透射波均存在，具体结果如图5（b）所示。
（a）理想导体
（b）理想介质
当均匀平面波对理想导体斜入射时，可将均匀平面波拆分为垂直极化波和水平极化波，本文研究垂直极化波对理想导体表面的斜入射。由于理想导体的特殊性，依然没有透射波存在，分析过程主要为入射波和反射波，其表达式为入射波为 ，反射波为 ，为了保证能够动态显示入射效果和反射效果，需要对其进行时间设置，当入射波未到达分界面时，只有入射波，当到达分界面后，才有反射波，具体实验结果如图6所示。
2 结 论
本文对“电磁场与电磁波”课程中的矢量分析、均匀平面波的传播、反射与透射等基础知识进行了梳理，采用MATLAB软件对基本的电磁现象进行三维数学建模，将烦琐的方程组转化为形象生动的三维动画，与实际电磁现象进行对比研究。通过MATLAB软件对知识点的虚拟仿真，实现麦克斯韦方程组的动图展现，在教授过程中不再让学生困惑在复杂的公式推导中，让学生更加直观的理解麦克斯韦方程组在各种物理现象中的应用，激发了学生的学习热情，提高学习兴趣，同时锻炼了学生发现问题、利用编程思维解决问题的能力。
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作者简介：武锦龙（1990—），男，汉族，山西太谷人，讲师，硕士，主要研究方向：电磁场与电磁波的教学、遥感技术的研究。
收稿日期：2024-03-27
基金项目：山西省教育科学“十四五”规划2023年度规划课题（GH-230199）；山西农业大学教学改革研究项目（YB-202132）；山西农业大学科技创新基金项目（2019023）
