摘要：" 建立红松人工林单木树高（HT）-胸径（DBH）曲线模型对未来红松人工林生长量预测具有重要意义。本研究基于黑龙江省东京城林业局红松人工林48块每木调查数据，选取7个常用的经验生长模型作为备选模型通过比较选取最优基础模型。基于最优基础模型引入样地水平随机效应，最终构建了基于样地水平随机效应的人工红松单木树高-胸径曲线混合效应模型。结果表明，与其他几个模型相比，Gompertz形式的M6取得了更好的拟合效果（Ra2=0.8338，RMSE=1.609 1）。与最优基础模型比较，混合效应模型Ra2显著升高，RMSE、AIC、BIC显著降低，拟合效果较好。基于混合模型的固定效应参数对树高-胸径曲线进行模拟发现，树高-胸径曲线变化规律为随着胸径的增大树高呈逐渐上升的趋势，前期树高增长较快，后期增长逐渐减缓，符合树高曲线的总体变化规律。本研究最终构建的树高-胸径曲线模型精度较高，能有效预估红松人工林单木树高变化规律，为未来东京城林业局红松人工林经营提供参考。
关键词：" 混合效应模型；" 树高-胸径模型；" 红松
中图分类号：" "S 753" " " " " " " "文献标识码：" "A" " " " " " " " 文章编号：１００1 － 9499（２０25）02 － 0035 － 05
Mixed-effects Model of Individual-tree Height-diameter
in Pinus koraiensis Plantation
ZHU Wancai LIU Qifeng LI Yazhou WU Yao PAN Yan
（Heilongjiang Forestry Science Research Institute，" Heilongjiang Harbin 150081）
Abstract Modeling the individual HT-DBH curve of Pinus koraiensis plantation is significantly important for the prediction of future growth of Pinus koraiensis plantation. In this study， 7 commonly used experience growth models were selected as alternative models based on data from 48 sample plots of Pinus koraiensis plantation in the Dongjingcheng forestry administration， Heilongjiang Province， and the optimal basic model was selected by comparison. Based on the optimal basic model， sample-level random effects were introduced and a mixed-effects model for individual tree height-diameter of Pinus koraiensis was developed. The results show that the Gompertz form of M6 shows a better fitting results compared to several other models （Ra2= 0.833 8， RMSE=1.609 1）. Compared with the optimal basic model， the mixed-effects model has a significantly higher Ra2， significantly lower RMSE， AIC， and BIC， and better fitting results. Based on the fixed effect parameters of the mixed model， the HT - DBH curve was simulated， and the results showed that with the increase of DBH" was gradually increasing trend， and the tree height grew faster in the early stage， and the growth gradually slowed down in the later stage ， which was consistent with the overall rule of change of the tree height curve. The HT-DBH curve model finally developed in this study has higher accuracy and can effectively predict the change rule of individual tree height in Pinus koraiensis plantation， which can provide a reference for the future management of Pinus koraiensis plantation in the Dongjingcheng forestry administration.
Key words mixed effect model; tree height DBH model; Pinus koraiensis
作为林分调查中最重要和最基本的两个测树因子，胸径和树高是构建直径生长模型[ 1 ]、冠幅模型[ 2 ]、生物量模型[ 3 ]的重要预测因子。胸径是目前观测最经济且精准的林木因子，与之相比，由于林分中林况较为复杂，树高的测量相对比较麻烦且准确度较低。由于胸径和树高之间相关性较强，构建树高-胸径模型是目前调查树高的一个行之有效的方法。已有大量学者构建不同地区不同树种的树高-胸径模型，目前常用线性或非线性模型来构建树高胸径曲线，但由于树高与胸径之间的非线性关系，非线性模型更受学者的欢迎[ 4 - 6 ]。在实际外业调查中，测量数据往往具有区域-样地-树木的嵌套结构，彼此之间存在相关性[ 7 ]，使用传统的最小二乘回归拟合数据会产生误差。而混合效应模型被认为是处理嵌套数据的一种行之有效的方法[ 8 ]，与最小二乘法相比，混合效应模型添加了随机效应部分来解决由于已知或未知因素引起的数据异质性以及随机性，并采用方差-协方差结构来解决异方差以及相关性等问题[ 9 ]。
红松（Pinus koraiensis）是中国东北部地区顶级群落的重要组成树种之一，具有重要的经济价值和生态防护功能[ 10 - 12 ]。红松人工林目前已在黑龙江地区广泛分布，在地区经济中占据重要位置。构建红松人工林单木树高-胸径曲线模型对未来红松生长量预测及森林经营方案的开展具有重要意义。基于此，本研究以东京城林业局48块红松人工林固定样地数据为基础，对7个备选模型进行比较，在此最优基础模型的基础上通过混合效应的方法构建了红松人工林单木树高-胸径曲线模型，以期为未来森林经营管理提供理论依据和技术支持。
1 研究区概况与数据来源
1. 1 研究区概况
东京城林业局位于黑龙江省宁安市东京城镇，区域坐标为：128°7′45″～130°2′35″ E，43°30′30″～" 44°18′45″ N。气候属中温带季风气候。年平均气温3 ℃，最高气温36.5 ℃，最低气温-40 ℃，年降水量550～600 mm，无霜期120～135 d[ 13 ]。
1. 2 数据来源
2017年9月，在东京城林业局选取不同年龄的红松人工林，共设置固定样地48块，样地面积0.04～0.09 hm2。在布设样地的同时对样地内树木进行调查，测量胸径、树高等单木因子，同时对样地因子如坡度、坡向、坡位等进行记录。通过构建胸径-树高散点图对异常数据进行剔除，最后共获得了2940株红松调查数据，单木因子统计如表1所示。为了节省数据，本研究将全部数据都用来构建模型。
2 研究方法
2. 1 基础模型选取
选取7个已使用过的树高-胸径模型形式作为备选模型，通过比较选出最优基础模型，备选模型具体形式如表2所示。
2. 2 混合效应模型
本研究在最优备选模型的基础上引入样地水平随机效应构建单水平非线性混合效应模型。单水平非线性混合效应模型的形式如下：
yij=f （φij，Vij）+εij" i=1，…m， j=1，…，niφij=Aij β+Bij Biεij～N（0，σ2Ri）， bi～N（0，D）Ri=σ2Gi0.5ΓiGi0.5（1）
式中：yij表示第i块样地第j棵树的树高；m是总样地数量，ni是第i块样地的总样木数量；f是含有参数向量φij和Vij的函数；β为固定效应向量；bi为带有方差-协方差矩阵D的随机效应向量；Aij和Bij为相应的设计矩阵；εij为误差;2为方差；Gi为描述方差异质性的对角矩阵；i为样地内误差的相关性结构；Ri为样地内的方差-方差矩阵。
将模型中所有的参数组合均作为随机效应对模型进行拟合。排除未收敛的参数组合后，选AIC、BIC、LogLikelihood对含有不同随机效应参数数量的模型进行比较。在含有不同数量随机效应的组合各选出一个最优的模型。使用LRT进行检验，选择参数较少且效果较好的模型。随机效应的方差-协方差矩阵（D）可以反映不同样地之间的差异。本研究采用常用的广义正定矩阵和对角矩阵通过比较对样地之间的差异进行描述。数据中一般存在着误差相关性和异方差的问题，研究采用的数据为一次调查数据不需要考虑相关性的问题，仅使用指数函数和幂函数来矫正异方差现象。两种函数形式如下：
Var（μij，α）=σ2μija（2）
Var（μij，α）=σ2exp（β μij）（3）
式中：μij是固定效应参数的预测值，α、β为幂函数与指数函数的参数。
2. 3 模型评价与检验
采用调整后的多重决定系数（Ra2）、均方根误差（RMSE）、平均绝对误差（MAE）、平均绝对百分比误差（MAPE）、赤池信息准则（AIC）、贝叶斯信息准则（BIC）对模型的拟合效果和检验效果进行评估。各指标公式如下：
Ra2=1-（）（4）
" "RMSE=（5）
MAE=（6）
MAPE=（7）
AIC=2k-2ln（L）（8）
BIC=kln（n）-2ln（L）（9）
式中，yi是第i株树的树高实际值；yi为第i株树的树高估计值；yi为树高观测值的平均值；k是参数数量；L是似然函数；n是样本数。
3 结果分析
3. 1 最优基础模型选取
使用R软件对7个树高-胸径曲线备选模型进行拟合（表3），7个模型中，M6模型的拟合效果最好（Ra2=0.833 8，RMSE=1.609 1），因此将M6模型作为树高-胸径曲线的最优基础模型，公式如下：
HT=1.3+16.519 3×e（10）
3. 2 混合模型构建
在模型（10）的基础上引入样地水平的随机效应，将所有的参数组合作为随机效应进行拟合，采用广义正定矩阵和对角矩阵进行比较来确定样地间的方差-协方差矩阵结构。最终结果表明，引入3个随机效应参数的模型拟合效果最好，与对角矩阵相比广义正定矩阵表现出了更好的拟合效果。图1绘制了基础模型和混合模型的残差图。由图1（a）可以看出引入随机效应之前的模型（10）的残差分布范围较广且有着明显的趋势，因此采用幂函数与指数函数进行比较来矫正异方差。结果表明，与幂函数相比指数函数表现出了更好的拟合效果，因此本研究采用指数函数来矫正异方差。由图1（b）可以看出，引入随机效应并且使用指数函数矫正异方差后的模型缩小了残差的分布范围，改善了异方差的问题。
从拟合统计结果（表4）看，基础模型的Ra2、RMSE、AIC、BIC分别为0.833 8、1.609 1、11 148.15、11 172.05，混合效应模型的Ra2、RMSE、AIC、BIC分别为0.908 1、1.196 7、982 8.20、989 4.03，从结果看混合模型显著优于基础模型，这说明引入样地水平的随机效应显著提升了模型的预测能力。
模型的检验效果对模型的实际应用至关重要，为了检验混合模型的实际检验效果，本研究将数据按3∶1分割成两部分，36块样地进行拟合，12块样地进行检验。对随机效应进行检验（表5）。
3. 3 树高-胸径曲线模拟
由图2可知，本研究构建的树高-胸径曲线变化规律为随着胸径的增大树高呈逐渐上升的趋势，前期树高增长较快，后期增长逐渐减缓，符合树高曲线的总体变化规律。
4 讨 论
模型形式的选择是成功开发模型的基础，目前来看并没有一种模型适合所有树种用来开发树高-胸径曲线模型[ 14 ]。基于此我们选择了7种常见的经验生长方程作为备选模型并进行比较。结果表明，7个备选模型的Ra2都在0.8以上，拟合效果均较好。其中Gompertz模型形式的M6的拟合效果优于其他6个模型，M6被选为最优基础模型。树木之间可能处于相同的样地或者区域中，因此观测数据往往难以满足最小二乘法独立同分布的假设，仅使用最小二乘法对模型进行拟合可能会产生一定的误差。混合效应作为改进参数估计的一种实用统计技术，目前在林业上应用广泛。本研究在M6的基础上，将样地效应作为随机效应引入到模型中并于基础模型进行比较。结果表明引入随机效应后模型的各项拟合与检验指标均优于基础模型，随机效应的引入显著的提升了模型的预估效果。
5 结 论
基于黑龙江东京城林业局48块不同年龄红松人工林样地的每木检尺数据，本研究选取7种常见的经验生长方程并在此基础上使用混合效应模型的方法，最终开发了红松单木树高-胸径模型，模拟了红松树高随胸径变化曲线。从结果看本研究最终开发的模型拟合精度较高，树高曲线效果较好，能对研究区的树高进行有效的模拟和预测。
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